Kaffee oder Milch?

Wie würde es LehrerInnen und SchülerInnen gefallen, den morgendlichen Mathematikunterricht mit einer Tasse Milchkaffee zu beginnen? Da fehlen nur noch die Croissants... Bei der Kaffee-und-Milch- (oder Wasser und Wein) Aufgabe machen die SchülerInnen sich Gedanken über die Modellierung einer sehr einfachen, jedoch ebenso kniffligen Situation...


Aufgabe: Von zwei identischen Gläsern ist eins mit Kaffee und eins mit der gleichen Menge an Milch gefüllt. Jemand nimmt einen Löffel Kaffee aus dem ersten Glas, füllt ihn in das Glas mit Milch und vermischt beides. Dann nimmt jemand mit demselben Löffel genau die gleiche Menge aus dem Glas mit der Kaffee-Milch-Mischung, füllt sie in das Glas mit Kaffee und vermischt alles. Welches Glas enthält mehr von der jeweils anderen Flüssigkeit? Das Glas mit Kaffee mehr Milch oder das Glas mit Milch mehr Kaffee?

Didaktisch-methodische Ideen:
Anstatt Kaffee und Milch können auch beliebige andere Flüssigkeiten verwendet werden. Es kann auch eine Erweiterung mit Öl und Essig angedacht werden, da es sich um eine sehr offene Aufgabe handelt. Der mathematische Hintergrund der Aufgabe ist auf den ersten Blick nicht erkennbar. Die Aufgabe der SchülerInnen besteht in erster Linie darin zu entscheiden, welche mathematischen Werkzeuge und Verfahren zielführend sein könnten. Viele SchülerInnen werden zunächst annehmen, dass das Milchglas mehr Kaffee enthält als das Kaffeeglas Milch, aber diese Meinung wird bei näherer Betrachtung und einigen Denkexperimenten sehr schnell als falsch entlarvt.

Für diesen ersten qualitativen Lösungsweg bedarf es jedoch einiger Berechnungen und Modelle (grafischer, algebraischer oder anderer Natur). Diese Situation können wir nutzen, um die SchülerInnen in einige grundlegende Fragen der mathematischen Modellierung einzuführen. Außerdem können wir mit dieser Aufgabe den Perspektivwechsel von arithmetischem Rechnen zu Algebra anregen und Schlüsselfragen des mathematischen Beweisens ansprechen bzw. die Verwendung grafischer Argumente oder den Wert einzelner Beispiele im Vergleich zu einem allgemeinen Beweis. betrachten. Eine Lösung mit Buchstaben und Algebra ist der allgemeinste Weg, ein Ergebnis vollständig und eindeutig zu beweisen. Ein knapper, gut durchdachter Beweis frei von Berechnungen ist aber immer noch die eleganteste Lösung. Im Rahmen einer Diskussion mit den SchülerInnen können verschiedene mathematische Beweise formuliert, erörtert und verglichen werden. Gleichzeitig lassen sich dabei wichtige Modellierungsfragen besprechen.

Wir sollten uns vor Augen halten, dass mit dieser Aufgabe eine ganze Reihe von Themen abgehandelt werden können. Dabei ist es wichtig, dass den SchülerInnen genügend Zeit gegeben wird, eigene Herangehensweisen zu entwickeln. Sie sollen die Gelegenheit haben, verschiedene Lösungswege auszuloten; die algebraische Lösung sollte daher nicht zu früh angesprochen werden. So können die SchülerInnen die Beweiskraft einzelner Lösungswege und den Wert sowie die Vor- und Nachteile der zur Auswahl stehenden Herangehensweisen zunächst untereinander besprechen. Die Aufgabe ist also eine Gelegenheit, wichtige Modellierungs- und Beweisfragen im Mathematikunterricht zu behandeln.


Erfahrungen aus dem Unterricht
Geben Sie den SchülerInnen anfangs zehn Minuten Zeit, sich ihre eigene Meinung zum Ergebnis zu bilden. Dann sollten alle SchülerInnen offen abstimmen und wir schreiben die Ergebnisse auf die Tafel. Zur Auswahl stehen folgende Antwortmöglichkeiten: „mehr Kaffee“, „mehr Milch“, „andere Lösung“ oder „?“. In der zweiten Phase sollen die SchülerInnen einen Brief an einen Freund oder eine Freundin schreiben, in dem sie versuchen, ihn bzw. sie von ihrer Lösung zu überzeugen. Einen Brief zu schreiben ist ein Weg, sich seiner Gedanken besser bewusst zu werden und sie zu schärfen. Nach 15-20 Minuten können die SchülerInnen erneut abstimmen (normalerweise sieht das Ergebnis jetzt anders aus), worauf eine Diskussionsrunde folgt. Die SchülerInnen werden gebeten, ihre Argumente und verschiedene Lösungswege vorzutragen, worauf einige MitschülerInnen mit Gegenargumenten reagieren werden. Am Ende der Stunde sollten die LehrerInnen die Diskussion dahingehend leiten, dass die verschiedenen Lösungsvorschläge der SchülerInnen bewertet und die wichtigsten Ergebnisse gemeinsam zusammengefasst werden.

Beim Experimentieren mit dieser Aufgabe haben die SchülerInnen eine Reihe von Lösungsstrategien verfolgt, die verschiedenen mathematischen Modellen entsprechen:

  • Numerische Modelle Die Menge der Flüssigkeit im Glas und auf dem Löffel kann numerisch ausgedrückt werden. Die Menge der Flüssigkeit auf dem Löffel kann z. B. durch eine Maßangabe oder aber als Verhältniswert (bzw. Prozentangabe) ausgedrückt werden. Bei korrekter Berechnung führen beide Beispiele zur richtigen Lösung, nämlich, dass die Menge – sowohl die Menge an Wasser im Wein als auch die Menge an Wein im Wasser – in beiden Fällen gleich groß ist. Die Schwierigkeit von Berechnungen in diesem Kontext könnte zu einer falschen Antwort führen und die SchülerInnen, die davon überzeugt sind, dass die Menge an Kaffee größer ist als die Menge an Milch können ihre Berechnungen unbewusst verzerren, um ihr Ergebnis zu beweisen.
  •  Grafische Modelle Eine andere Möglichkeit ist es, zwei Gläser zu zeichnen und für jede Stufe die darin enthaltene Flüssigkeit abzubilden, indem der Inhalt des Glases jeweils proportional reduziert wird. Dieses Verfahren führt zu einem grafischen Beweis auf mehr oder weniger fortgeschrittenem Niveau. Eine formelle Variante eines grafischen Modells trat in mehreren unserer Experimente zu Tage. Die SchülerInnen stellten die Flüssigkeit mit Bällen unterschiedlicher Farbe dar, was das Rechnen erleichterte.
  •  Modelle mit Buchstaben Diese Modelle können mit numerischen oder grafischen Modellen kombiniert werden. Einen Gegenstand mit einem Buchstaben auszudrücken wird häufig als mathematische Fähigkeit betrachtet. Die Verwendung von Buchstaben macht Sinn, wenn diese sich auf die zunächst unbekannte Menge an Flüssigkeit in dem Glas oder auf dem Löffel beziehen (die situationellen Parameter), wobei letztere (auf dem Löffel) entweder als eigenständiger Wert oder als proportioneller Wert angegeben werden kann. Im Folgenden stellen wir einen kurzen Beweis vor, bei dem Q die Menge an Kaffee und Milch in dem Glas vor der Vermengung und q die Menge der Flüssigkeit auf dem Löffel darstellt. Die Tabelle enthält die Menge der jeweiligen Flüssigkeit in den einzelnen Gläsern in den verschiedenen Stufen des Experiments:

  Milch in
Glas A
Kaffee in Glas A Milch in
Glas B
Kaffee in Glas B
Phase 0 0 Q Q 0
Phase 1 0 Q-q Q q
Phase 2 Qq/(Q+q) Q2/(Q+q) Q2/(Q+q) Qq/(Q+q)
  •  Extremfälle Ein Extremfall tritt zum Beispiel dann ein, wenn der Löffel so groß ist wie das Glas und der erste Löffel das Glas mit Kaffee also vollständig entleert. In dem Fall ist es einfach zu sehen, dass jedes Glas am Ende zur Hälfte mit Milch und zur Hälfte mit Kaffee gefüllt ist. Umgekehrt könnte man sich auch vorstellen was passiert, wenn der Löffel leer ist und der Inhalt in den beiden Gläsern also unverändert bleibt. Beide Fälle sind unrealistisch und führen ohne lange Rechenwege zur richtigen Lösung. Die SchülerInnen, die so argumentieren, haben mit großer Wahrscheinlichkeit ein gutes Verständnis dafür, was man in einer solchen Situation durch Modellierung erreichen kann.


Autor: Jean-Luc Dorier, Universität Genf, Schweiz