Zahlenpyramiden

Die algebraischen Ausdrücke in den Pyramidenzellen werden durch Multiplikation der Ausdrücke in den beiden unmittelbar darunter liegenden Zellen gebildet, wie in der linken Pyramide gezeigt. 

 


Die linke Pyramide enthält eine klare Aufgabe, die in einer Richtung von unten nach oben gelöst wird. Die Lösung der rechten Pyramide erfordert Strategien, die sich den SchülerInnen nicht unbedingt auf Anhieb erschließen.



Zeitbedarf: (Teil) eine(r) Unterrichtsstunde


Didaktisch-methodische Ideen
Bei Algebra-Übungen geht es meist darum, eine Reihe von Reproduktionsaufgaben durchzuarbeiten, die im Schulbuch stehen oder von uns an die SchülerInnen herangetragen werden. Dabei reichen die Aufgaben von einfach bis komplex. Eine recht einfache Variante dieser Standardübungen kann darin bestehen, das übliche Geschehen im Klassenraum so zu verändern, dass ein dynamisches Umfeld entsteht, in dem eine erforschende Vorgehensweise mit Diskussionen bzw. Ausprobieren verschiedener Lösungsansätze und damit die Kreativität der SchülerInnen gefördert wird. Bei den Aufgaben handelt es sich daher um produktive, nicht reproduktive Übungen.

Eine Sammlung entsprechender produktiver Algebra-Aufgaben, die zum Üben verschiedener Aspekte des Rechnens mit Unbekannten verwendet werden können, finden Sie in diesem, von Martin Kindt (Freudenthal Institute, 2004) entworfenem Modul: Positive Algebra: a collection of productive exercises.

Die oben beschriebene Aktivität wurde nach dem Modul 2: Unstrukturierte Aufgaben meistern durchgeführt. Die zweite oben beschriebene Übung ist ein Beispiel dafür, wie man von dem, was die SchülerInnen produzieren, auf ihren inhaltlichen und prozessbezogenen Leistungsstand schließen und auf diesen aufbauen kann. Die Fortbildungsmodule Modul 3: Prozesse beim forschenden Lernen  und Modul 6: An das Vorwissen anknüpfen geben Lehrkräften Anregungen, wie sie für ihre Klassen ähnliche Aufgabenstellungen vorbereiten und durchführen können.

Außer der Fähigkeit, mit Unbekannten zu rechnen, müssen die SchülerInnen bei dieser Art von Aufgaben auch in der Lage sein, Probleme zu lösen, eigene Strategien zu wählen und ihre Ideen und Ergebnisse zu kommunizieren – alles Elemente forschenden Lernens.

 

Erfahrungen aus dem Unterricht
Eine Mathematiklehrerin wählte zwei Übungen aus dem Lehrbuch, die einfache Versionen von algebraischen Zahlenpyramiden enthielten, und formulierte dazu jeweils eine offene bzw. unstrukturierte Aufgabenstellung. Zunächst forderte sie die SchülerInnen auf, die nachstehende Pyramide zu analysieren und möglichst herauszufinden, wie sie aufgebaut ist:

Sie sollten erkennen, dass von unten nach oben immer zwei nebeneinander liegende Zellen miteinander multipliziert werden und das Ergebnis in dem Kästchen darüber steht. Sie hatten zuvor schon die Multiplikation von Variablen geübt, so dass die Aufgabe lösbar sein  sollte.

Nach fünf Minuten und einer kurzen Diskussion gab die Lehrerin den SchülerInnen die Aufgabe, selbst eine solche Pyramide zu entwerfen, die dann von den Mitschülern gelöst werden sollte. Unten sehen Sie sowohl eine leichte („makkelijk“) als auch eine eher komplexe Pyramide, die so entstanden:

Die Lehrerin war vor allem erstaunt, wie intensiv sich die SchülerInnen über eine halbe Stunde lang in die Arbeit mit algebraischen Ausdrücken vertieften. In einer Diskussionsrunde zwischendurch stellte eine Zweiergruppe die Frage, wie viele Informationen mindestens vorliegen müssten, damit eine solche Pyramide gelöst werden könnte. Diese Frage wurde von anderen Gruppen aufgegriffen, und die Lehrerin war begeistert darüber, dass die SchülerInnen sich ein viel tieferes Verständnis von Algebra aneignen konnten als es üblicherweise der Fall ist. Sie meinte, die SchülerInnen würden sich bei dieser Art von Unterricht ganz anders mit den von ihnen gelösten Aufgaben identifizieren.


Autoren: Michiel Doorman, Corine den Boer, Henk van der Kooij, Universität Utrecht, Niederlande
Fotos: Corine den Boer