Perlen und Formeln

Bei dieser Aufgabe geht es darum, den binomischen Satz von Newton und damit verbundene Konzepte (Kombinationen, Pascalsches Dreieck) nach dem Ansatz des forschenden Lernens zu vermitteln, indem man die Verbreitung eines Gerüchts modelliert.

 

Eine Stärke der Aufgabe ist ihre handlungsorientierte Herangehensweise: Aus Plastikperlen und Schnüren werden Modelle gebastelt, die nicht nur die Anzahl der Kombinationen von k Elementen, die aus einer n-elementigen Menge ausgewählt werden, veranschaulichen, sondern auch die Kombinationen selbst. Der Ansatz des forschenden und entdeckenden Lernens eignet sich hervorragend für die Entwicklung des Modells, die Formulierung der grundlegenden Eigenschaften der Kombinationen und für die Ausarbeitung allgemeinerer Modelle.

Zeitbedarf: 2 bis 4 Unterrichtsstunden, je nachdem wie tief in die Materie eingestiegen werden soll.

 

 


Didaktisch-methodische Ideen
Modellierung bedeutet bei dieser Aufgabe nicht, dass eine außermathematische Realität naturgetreu dargestellt wird, sondern es handelt sich vielmehr um ein intelligentes Spiel mit Elementen der Realität, das strengen Regeln folgt. Dies sollte auch den SchülerInnen klar gemacht werden.

Die Ausgangssituation: Eine Schule ist berühmt für die vielen Gerüchte, die dort umhergehen. Ein Schüler hört ein Gerücht über einen der Lehrer und kann sich nicht zurückhalten, es am nächsten Tag weiter zu erzählen. Zunächst übertreibt er den Sachverhalt (d. h. er steigert ihn um das a-fache) und erzählt ihn dann entsprechend weiter. Dann denkt er sich eine noch übertriebenere Version (b-fach) aus und erzählt diese Version jemand anderem. Und da an dieser Schule alle gerne tratschen, erzählt jeder, der von dem Gerücht hört, es wiederum weiter. Man macht sich einen Spaß daraus, in der Schule Clubs zu organisieren, wobei jeder Club aus Mitgliedern besteht, die das Gerücht mit demselben Verstärkungsfaktor gehört haben. In den ersten Club werden also alle diejenigen eingeladen, die das Gerücht nach der Verstärkung um a und b oder b und a gehört haben, jedoch keine anderen Schüler (siehe Modell für die ersten drei Runden, die das Gerücht macht; die Kugeln in der unteren Reihe stellen die Clubs auf dieser Ebene dar).


Zunächst können die SchülerInnen mit Stift und Papier zeichnen oder anderweitig darstellen, wie die einzelnen Clubs entstehen. Damit sie die zugrundeliegende Struktur der Verbreitung der Gerüchte besser verstehen, ist es allerdings noch wirkungsvoller, wenn sie aus Schnüren und Perlen eigene Modelle erstellen, um bestimmte Aspekte von Kombinationen, von Variationen mit Wiederholung und wie diese generiert werden können (mit einem Computer-Programm oder mit dem selbst gebastelten Modell) deutlicher zu machen.
Danach können abschließende Diskussionen geführt werden, in denen wir die mathematischen Konzepte definieren, die darauf anwendbar sind, und die Eigenschaften, die die SchülerInnen herausgefunden haben, mit mathematischen Fachbegriffen benennen.

Weiteres forschendes Lernen kann von folgender Frage ausgehen: Was passiert, wenn jeder Schüler drei (oder mehr) verschiedene Versionen weitererzählt? Wenn wir für diese Erweiterung ein handgefertigtes Modell erstellen wollen (eine Art Pascalsches Tetraeder), so steigt der Zeitbedarf gegenüber der ursprünglichen Aufgabenstellung exponentiell. Unserer Erfahrung nach genügt eine Zeitstunde, wenn die Modelle nur gezeichnet werden, während das handwerkliche Erstellen eines 2D-Modells (Pascalsches Dreieck) etwa 1,5 bis 2 Stunden beansprucht und das Erstellen eines 3D-Modells (Pascalsches Tetraeder) am ehesten als mehrstündige Projektarbeit realisiert werden kann.

Die Aufgabe ist ein gutes Beispiel für die Umwandlung eines klassischen Lehrplaninhalts – das ist der binomische Lehrsatz in vielen europäischen Ländern – in eine komplexe Aktivität im Rahmen des forschenden Lernens.

 


Erfahrungen aus dem Unterricht
Viele SchülerInnen wählten als ersten Ansatz die Modellierung der Gerüchteverbreitung anhand eines Binärbaums. Manche entdeckten dann, dass der Binärbaum in ein Pascalsches Dreieck umgewandelt werden kann, indem man die Knoten, die demselben Verstärkungsfaktor entsprechen, miteinander verbindet. Dies setzt eine leicht veränderte Perspektive voraus, denn bei dem Binärbaum entsprechen die Knoten einzelnen SchülerInnen, während sie im Pascalschen Dreieck den Clubs entsprechen.

Wenn man Schnüre und Perlen verwendet, kann man diese Umwandlung gut sehen. Das endgültige Modell (s. Foto) zeigt ebenfalls die Kombinationen (Variationen mit Wiederholung), die jedem Knoten entsprechen.

Zwei wichtige Ergebnisse dieser Unterrichtseinheit sind folgende: Häufige falsche Annahmen in Bezug auf Kombinationen konnten wir von Anfang an ausschließen (die üblichen Formeln haben wir zu diesem Zeitpunkt nicht eingeführt) und die SchülerInnen konnten sich die einzelnen Schritte des formalen Beweises bestimmter Eigenschaften intuitiv erschließen (z. B. die Regel zur Erstellung des Pascalschen Dreiecks und den binomischen Satz). Durch den Bau verschiedener Modelle im Rahmen eines realitätsbezogenen Spiels (d. h. das Szenario der Verbreitung eines Gerüchts) waren die SchülerInnen in der Lage, sich eine konkrete Vorstellung von einem komplexen algebraischen bzw. stochastischen Inhalt zu machen.

 



Autoren:
Szilárd András, Babeş-Bolyai-Universität, Cluj Napoca, Rumänien;
Csaba Tamási, SimpleX Association, Miercurea Ciuc
Fotos:
Szilárd András