Felder und Farben

"Stellt euch ein normales Schachbrett mit 8x8 Feldern vor, an dem zwei diagonal gegenüber liegenden Eckfelder herausgesägt wurden; d. h. wir haben 62 Felder. Ist es möglich, 31 Dominosteine mit einer Größe von jeweils genau zwei Schachfeldern so darauf zu legen, dass alle 62 Felder vollständig bedeckt sind?"


Die Aufgabe basiert auf dem berühmten Rätsel vom zerstörten Schachbrett des Philosophen Max Black und gibt SchülerInnen die Möglichkeit, mehrere Varianten des Rätsels sowie andere mathematische Probleme, die mit Parität zu tun haben, zu untersuchen. Bei dieser Aufgabe werden Lösungen durch inhaltliche Überlegungen ausgehend von den Feldern und Farben erarbeitet, ohne dass es formaler Beweise bedürfte.

Zeitbedarf: Zwei Unterrichtsstunden à 45 Minuten


Didaktisch-methodische Ideen
Die Aufgabe vom zerstörten Schachbrett ist eine Denkaufgabe mit Dominosteinen, die der Philosoph Max Black 1946 in seinem Buch Critical Thinking veröffentlichte. Die Schüleraktivität basiert auf der folgenden Aufgabe: „Stellt euch ein normales Schachbrett mit 8x8 Feldern vor, an dem zwei diagonal gegenüber liegende Eckfelder herausgesägt wurden; d. h. wir haben 62 Felder. Ist es möglich, 31 Dominosteine mit einer Größe von jeweils genau zwei Schachfeldern so darauf zu legen, dass alle 62 Felder vollständig bedeckt sind?“ Die SchülerInnen haben die Gelegenheit, im Rahmen der Arbeit mit Feldern und verschiedenfarbigen Dominosteinen „inhaltliche Beweise“ zu erarbeiten.

Diese Aufgabe umfasst zwei Unterrichtsstunden zu je 45 Minuten. In der ersten wird die Denkaufgabe von Max Black und Varianten davon bearbeitet. In der zweiten Stunde geht es um eine Erweiterung der Aufgabe. Zu Beginn der ersten Stunde können die SchülerInnen eine einfachere Variante des Rätsels erkunden:

Ist es möglich, ein Schachbrett mit 8x8 Feldern mit Dominosteinen, die jeweils die Größe von zwei Feldern haben, vollständig abzudecken?

Die LehrerInnen sollten zweifarbige Dominosteine bereitstellen, denn sonst wird es für die SchülerInnen schwierig, eine Lösung zu finden (zumindest eine, die keinen formalen Beweis benötigt). Mit zweifarbigen Dominosteinen können die SchülerInnen eine Verbindung zwischen dem Schachbrett und den Dominosteinen herstellen: jeder Dominostein bedeckt ein weißes und ein graues Feld, d. h. 31 Dominosteine bedecken 31 weiße und 31 graue Felder. Diese einfache Variante des Rätsels ist also lösbar. Dann können sich die SchülerInnen die komplizierteren Rätselvarianten vornehmen, wenn beim Schachbrett (links) ein Eckfeld oder (rechts) zwei diagonal gegenüber liegende Eckfelder herausgesägt wurden.

Mit der gleichen Überlegung wie oben können die SchülerInnen nachweisen, dass es jetzt unmöglich ist, das Schachbrett vollständig mit (zweifarbigen) Dominosteinen abzudecken, denn im ersten Fall bleibt ein Feld unbedeckt (ein graues oder ein weißes) und im zweiten Fall führt das Entfernen von zwei diagonal gegenüber liegenden Feldern dazu, dass zwei Felder mit derselben Farbe fehlen.

In der zweiten Unterrichtsstunde können die SchülerInnen einen Schritt weiter gehen, indem sie weitere Varianten der Aufgabe (s. u.) bearbeiten und untersuchen, ob es möglich ist, das Schachbrett mit Dominosteinen zu bedecken, wenn mehrere Felder entfernt wurden (graue Felder in den Abbildungen unten). Die SchülerInnen können hier mithilfe eines „allgemeineren Farbbeweises“ zur Lösung kommen.

Während des ganzen Bearbeitungsprozesses sollten wir als LehrerInnen vor allem darauf achten, dass ein Dialog stattfindet, so dass auf der Grundlage der experimentellen Ergebnisse ein gemeinsames mathematisches Verständnis aufgebaut wird.

 

Erfahrungen aus dem Unterricht
Bei der Durchführung der Aufgabe in einer elften Klasse (16-Jährige) waren die SchülerInnen begeistert bei der Sache. Sie berichteten, dass die Aufgabe ihnen Spaß gemacht hat, vor allem, weil sie so anderes als übliche Mathematikaufgaben mit formalen Beweisen war.

 

 

Die SchülerInnen arbeiteten in Vierergruppen und konnten die meisten der gestellten Aufgaben lösen. Einige SchülerInnen gingen noch einen Schritt weiter und entwarfen eigene Schachbretter mit fehlenden Feldern (auf der Grundlage der Beispiele). Sie fanden dann selbst heraus, ob diese Bretter mit Dominosteinen bedeckt werden konnten oder nicht. Der Lehrer unterstützte die SchülerInnen beim Entwurf anspruchsvoller Aufgaben mit Tipps und Hinweisen. Zum Schluss erweiterte eine Gruppe von SchülerInnen die Aufgabe auf Vorschlag des Lehrers, indem sie quadratische und L-förmige Steine verwendeten.

Autor und Fotos: Nicholas G. Mousoulides, Technische Universität Zypern